O EΛΛΕΙΨΟΓΡΑΦΟΣ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ και τα τρία άλυτα γεωμετρικά προβλήματα τής αρχαιότητας

Στην αρχαιότητα ήταν γνωστά τρία γεωμετρικά προβλήματα, που προσπαθούσαν να τα λύσουν με τη χρήση αδιαβάθμητου κανόνα και διαβήτη: Ο διπλασιασμός τού όγκου κύβου (δήλιο πρόβλημα), η τριχοτόμηση γωνίας και ο τετραγωνισμός τού κύκλου.

Τα προβλήματα αυτά, όπως αποδείχτηκε αργότερα (Wantzel, 1837), δεν μπορούν να λυθούν μόνο με κανόνα και διαβήτη. Σύμφωνα με τη θεωρία τού γάλλου μαθηματικού Galois (1811 - 1832), για να λυθεί ένα γεωμετρικό πρόβλημα αποκλειστικά με κανόνα και διαβήτη, θα πρέπει να ανάγεται σε λύση πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Τα δύο πρώτα προβλήματα απαιτούν την κατασκευή κυβικής ρίζας, ενώ για το τρίτο, το π είναι υπερβατικός αριθμός (Θεώρημα Lindemann - Weierstrass, 1882), που σημαίνει, ότι δεν αποτελεί λύση καμμιάς πολυωνυμικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές.

Οι αρχαίοι έλληνες μαθηματικοί, όταν είδαν, ότι οι προσπάθειές τους δεν απέδωσαν, στράφηκαν σε άλλες καμπύλες εκτός τού κύκλου και κατασκεύασαν και βοηθητικά όργανα (πέραν τού κανόνα και τού διαβήτη) για τη σχεδίαση αυτών των καμπύλων.

Διπλασιασμός τού κύβου

Κατά την αρχαιότητα δόθηκαν λύσεις στο πρόβλημα αυτό από τούς: Αρχύτα τον Ταραντίνο, Ιπποκράτη το Χίο, Πλάτωνα, Εύδοξο τον Κνίδιο, Μέναιχμο, Αρχιμήδη, Ερατοσθένη, Απολλώνιο τον Περγαίο, Φίλωνα τον Βυζάντιο, Νικομήδη, Ήρωνα τον Αλεξανδρινό, Διοκλή, Σπόρο, Πάππο. Ο Διοκλής επινόησε για το σκοπό αυτό την κισσοειδή καμπύλη και ο Νικομήδης την κογχοειδή καμπύλη, για τη χάραξη τής οποίας κατασκεύασε ειδικό όργανο, που τη σχεδίαζε με συνεχή κίνηση. Η πιο εντυπωσιακή λύση ήταν τού Αρχύτα, που περιελάμβανε γεωμετρική κατασκευή στις τρεις διαστάσεις.

Η κισσοειδής καμπύλη τού Διοκλή με εξίσωση σε καρτεσιανές συντεταγμένες: (x2+y2)x = 2ay2

Όργανο, που σχεδίασε ο Νεύτων, για την κατασκευή τής κισσοειδούς καμπύλης με συνεχή κίνηση.

H κογχοειδής καμπύλη τού Νικομήδη με εξίσωση σε καρτεσιανές συντεταγμένες: (x-a)²(x²+y²) = b²x² και σε πολικές: r = b + a secθ.

Όργανο για την κατασκευή τής κογχοειδούς καμπύλης.

Τριχοτόμηση γωνίας

Πιθανώς αυτό το πρόβλημα προέκυψε, όταν προσπάθησαν να κατασκευάσουν με κανόνα και διαβήτη το κανονικό εννεάγωνο. Λύσεις δόθηκαν από τούς: Ιππία τον Ηλείο, Αρχιμήδη, Νικομήδη και Πάππο. Ο Ιππίας εμπνεύστηκε μια καμπύλη, που ονομάστηκε τετραγωνίζουσα, και θεωρείται η πρώτη καμπύλη τής ελληνικής γεωμετρίας μετά την περιφέρεια. Ο Νικομήδης χρησιμοποίησε την προαναφερθείσα κογχοειδή καμπύλη. Αρχιμήδης και Πάππος διετύπωσαν από δύο λύσεις ο καθένας. Ο γάλλος μαθηματικός Pascal (17^ος αιώνας) αργότερα, χρησιμοποίησε την κοχλιοειδή καμπύλη.

Η τετραγωνίζουσα τού Ιππία: y = x cot(πx/2a).

Τετραγωνισμός τού κύκλου

Μετά τον τετραγωνισμό τού ορθογώνιου, τού τριγώνου, τού παραλληλόγραμμου και γενικά των πολυγώνων, η προσπάθεια στράφηκε στον τετραγωνισμό σχημάτων, που ορίζονται από καμπύλες γραμμές. Ο Ιπποκράτης ο Χίος, προσπαθώντας να λύσει το πρόβλημα, κατάφερε να τετραγωνίσει, δηλαδή να βρει το εμβαδό συγκεκριμένων μηνίσκων (μηνίσκος τού Ιπποκράτη). Ο σοφιστής Αντιφών είχε εκφράσει την ιδέα, ότι εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε ένα κύκλο και διπλασιάζοντας τον αριθμό των πλευρών τους θα οδηγούσε στην κάλυψη τού κύκλου και από τη στιγμή, που ένα πολύγωνο μπορεί να τετραγωνιστεί, το ίδιο ισχύει και για τον κύκλο. Ο Δεινόστρατος χρησιμοποίησε την τετραγωνίζουσα τού Ιππία, για να λύσει το πρόβλημα και ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε τη σπείρα τού Αρχιμήδη (ανακαλύφτηκε από τον φίλο τoυ, Κόνωνα τον Σάμιο).

Η σπείρα του Αρχιμήδη με μαθηματικό τύπο σε πολικές συντεταγμένες: r = aθ

Παράλληλα, έγιναν προσπάθειες υπολογισμού τής τιμής τού π (με το οποίο συνδέεται το πρόβλημα), οι οποίες απέφεραν αποτελέσματα, με πρωτεργάτη τον Αρχιμήδη.

[ Σ.σ.: Διαβάστε στην «Ελεύθερη Έρευνα» για τον Αρχιμήδη: Από το “Οστομά- χιον” - Tangram, στον ολοκληρωτικό λογισμό, "Οστομάχιον": Το αρχαιότερο γνωστό puzzle, δείτε το βίντεο: “Δος μοι πού στω και κινώ την Γην” και κατεβάστε δωρεάν το βιβλίο: Δεκαπέντε θεωρήματα τού Αρχιμήδη.]

Όταν το 1882, έγινε γνωστό, ότι δεν είναι δυνατή η επίλυση τού προβλήματος με κανόνα και διαβήτη, κάποιοι μαθηματικοί προσπάθησαν να προσεγγίσουν τον τετραγωνισμό τού κύκλου κατασκευάζοντας μήκη όσο το δυνατόν πιο κοντά στην τιμή τού π. Κάποιοι κατάφεραν να κατασκευάσουν γεωμετρικά το γνωστό κλάσμα 355/113, που δίνει ακρίβεια έξη δεκαδικών για την τιμή τού π. Το 1914 ο ινδός μαθηματικός, Ramanujan, έφτιαξε μια κατασκευή με κανόνα και διαβήτη, που έδινε για το π μια εντυπωσιακή ακρίβεια οκτώ δεκαδικών ψηφίων.

Νεύση.---------------------------------

Κατασκευή με νεύση

Η νεύση ήταν γεωμετρική κατασκευαστική μέθοδος, που χρησιμοποιόταν, όταν οι άλλες δυο μέθοδοι αποτύγχαναν να δώσουν λύσεις, δηλαδή η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη και η χρήση κωνικών τομών. Η κατασκευή με νεύση απαιτεί βαθμονομημένο κανόνα. Ο κανόνας μπορεί να γλιστράει ακουμπώντας σε ένα σταθερό σημείο (P) και για δοσμένο μήκος (βαθύ μπλε στο παραπάνω σχήμα) θα πρέπει να κινήσουμε το χάρακα, ώστε οι δυο δοσμένες καμπύλες (l, m) να εφάπτονται στα άκρα τού δοσμένου τμήματος.

Κατασκευή κανονικού επταγώνου με νεύση.

Με τη νεύση μπορεί να λυθούν τα προβλήματα τού διπλασιασμού τού κύβου, τής τριχοτόμησης γωνίας και τής κατασκευής τού κανονικού επταγώνου. Ο Αρχιμήδης τη χρησιμοποιούσε συχνά και με τη βοήθειά της τριχοτόμησε τη γωνία. (O δεύτερος τρόπος, με τον οποίο ο Αρχιμήδης τριχοτόμησε τη γωνια ήταν με τη βοήθεια τής σπείρας του). Επίσης, η κογχοειδής καμπύλη τού Νικομήδη μπορεί να χρησιμοποιηθεί, για να πραγματοποιήσει κατασκευές με νεύση.

Ο ελλειψογράφος τού Αρχιμήδη

Σύμφωνα με τα παραπάνω, ενδέχεται ο -εικονιζόμενος δεξιά- ελλειψογράφος τού Αρχιμήδη να αποτελεί άλλο ένα όργανο για την κατασκευή καμπύλων, που βοηθάνε στην επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων. Εναλλακτικά, λόγω των επιτευγμάτων τού Αρχιμήδη στον τομέα τού υπολογισμού εμβαδών και όγκων, ίσως να παραπέμπει και σε κάποιο όργανο μέτρησης επιφανειών.

Πλανήμετρο (19os αι.), όργανο μέτρησης επίπεδων επιφανειών διαγράφοντας το ίχνος τής περιμέτρου τους.

Τοny Manero

11.4.2011

---

ΚΥΝΗΓΩΝΤΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ

ΧΙΜΑΙΡΕΣ

Aπό την αρχαιότητα, οι λύσεις των τριών προβλημάτων (δήλιο, τετραγωνισμός κύκλου, τριχοτόμηση γωνίας) παρέμειναν ανέφικτα όνειρα, με την πραγματοποίηση των οποίων ασχολήθηκαν πολλοί μαθηματικοί, μέχρις ότου ο Lindemann απέδειξε το αδύνατον αυτών (1882). Εν τούτοις, δεν έπαψαν μέχρι σήμερα να υπάρχουν μανιώδεις μαθηματικοί, ερασιτέχνες κατά το πλείστον, οι οποίοι με πάθος εξακολουθούν να κυνηγούν χίμαιρες...

Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμός όγκου κύβου)

Η ιστορία τού δηλίου προβλήματος είναι πολύ παληά· άσχετα με την παράδοση, ότι αυτό ήταν γνωστό επί της βασιλείας τού Μίνωα, συνάγεται από την επιστολή τού Ερατοσθένη προς τον Πτολεμαίο, ότι αυτό ήταν γνωστό στην Αθήνα κατά τα μέσα τού ε΄ αι. π.Χ., όταν ο Ιπποκράτης ο Χίος ανήγαγε (περί το 430 π.Χ.) το πρόβλημα αυτό στην εύρεση δυο μέσων αναλόγων ευθειών, όταν δοθούν δυο ευθείες, από τις οποίες η μια είναι διπλάσια τής άλλης.

Ο Πλούταρχος αναφέρει το δήλιο πρόβλημα σε τέσσερα έργα του ως εξής:

1. Όταν επιστρέφαμε από την Αίγυπτο (σ.σ. διηγείται ο Σιμμίας ο Θηβαίος, συνταξιδεύοντας με τον Πλάτωνα) μάς συνήντησαν κοντά στην Καρία μερικοί δήλιοι, οι οποίοι ζήτησαν από τον Πλάτωνα, επειδή γνώριζε γεωμετρία (σ.σ διαβάστε στην «Ελεύθερη Έρευνα»: Ο συνδυασμός μαθηματικής και φιλοσοφικής μεθοδολογίας στον Πλάτωνα), να λύσει ένα χρησμό δύσκολο. Ήταν δε ο χρησμός, ότι και στούς δηλίους και στούς άλλους έλληνες θα παύσουν τα παρόντα δεινά, όταν διπλασιάσουν το βωμό τού Απόλλωνα στη Δήλο. Μη μπορώντας δε να αντιληφθούν την έννοια τού χρησμού και γινόμενοι γελοίοι με την κατασκευή τού βωμού (διότι έκαναν λάθος και διπλασιάζοντας κάθε μια από τις τέσσερις πλευρές, έπαιρναν οκταπλάσιο όγκο, μη γνωρίζοντας την ανάλογη αύξηση τού στερεού, όταν διπλασιάζεται η πλευρά του) επικαλέστηκαν τη βοήθεια τού Πλάτωνα.

Αυτός δε τούς απάντησε, ότι ο χρησμός ειρωνεύεται τούς έλληνες, που παραμελούν την παιδεία, κατηγορεί την αμάθεια μας και παραγγέλλει να επιδίδονται στην εκμάθηση τής γεωμετρίας όχι πάρεργα. Γιατί αυτό είναι έργο μιας διάνοιας, η οποία δεν είναι ατελής, ούτε βλέπει τα πράγματα εσφαλμένα, αλλά τουναντίον είναι άκρως ασκημένη με τα γεωμετρικά σχήματα, στη λήψη δηλαδή δύο μέσων αναλόγων, με τις οποίες και μόνο διπλασιάζεται σώμα κυβικού σχήματος αυξανόμενο όμοια σε όλες του τις διαστάσεις. Αυτό είναι δυνατόν να το εκτέλεσει για αυτούς ο Εύδοξος ο Κνίδιος (σ.σ. διαβάστε στην «Ελεύθερη Έρευνα»: Η Ιπποπέδη τού Εύδοξου και η Ουράνια Μηχανική) ή ο Ελικών ο Κιζυκηνός· να μη νομίζουν δε, ότι με το χρησμό αυτό ο Απόλλωνας ενδιαφέρεται για το συγκεκριμένο πρόβλημα, αλλά προτρέπει τούς έλληνες να αφήσουν τον πόλεμο και τα κακά του, να ασχολούνται με τις Μούσες και να καταπραΰνουν τα πάθη τους και με το λόγο και με τα μαθηματικά και να συμπεριφέρονται ο ένας προς τον άλλον αβλαβώς και ωφέλιμα. (Περί δαιμονίου Σωκράτους, 579 Β-D).

2. Όπως έλεγε και ο Πλάτων, όταν δόθηκε ο χρησμός για το διπλασιασμό τού βωμού στη Δήλο, πράγμα, το οποίο είναι έργο άκρας γεωμετρικής ικανότητας, ότι ο Απόλλων δεν προστάσσει αυτά, αλλά παραγγέλλει στούς έλληνες να μάθουν γεωμετρία. (Περί τού ΕΙ τού εν Δελφοίς, 386 Ε).

3. Μάλιστα δε η γεωμετρία, η οποία κατά το Φιλόλαο είναι αρχή και μητρόπολη των άλλων επιστημών, επαναφέρει και στρέφει τη διάνοια, σαν να αποκαθαίρεται και να ελευθερώνεται αυτή με θάρρος από τα αισθητά. Γι΄ αυτό και ο Πλάτων μέμφθηκε τον Εύδοξο, τον Αρχύτα (σ.σ. διαβάστε στην «Ελεύθερη Έρευνα: Αρχύτας: Από την φιλοσοφία των Μαθηματικών... στο αεριοωθούμενο) και τον Μέναιχμο, γιατί επιχεί- ρησαν να αναγάγουν το διπλασιασμό τού κύβου σε οργανικές και μηχανικές κατασκευές, σαν να μην ήταν δυνατόν θεωρητικά, όπως αρμόζει, να λάβουν δύο μέσες ανάλογες, διότι με τις μηχανικές κατασκευές χάνεται και καταστρέφεται το αγαθό τής γεωμετρίας, όταν αυτή παλινδρομήσει από τα ιδεατά πάλι στα αισθητά. (Συμπ. προβλ. 8.2).

4. Γιατί την αγαπώμενη αυτή και περιβόητη Μηχανική άρχισαν μεν να εφαρμόζουν οι περί τον Εύδοξο και τον Αρχύτα, ποικίλλοντες με γλαφυρότητα τη γεωμετρία και προβλήματα μη δυνάμενα εύκολα να λυθούν με λογική και γραμμική απόδειξη (σ.σ δηλαδή με κανόνα και διαβήτη) τα έλυναν με αισθητά και μηχανικά μέσα, όπως το πρόβλημα τής παρεμβολής μεταξύ δύο ευθειών δύο μέσων αναλόγων (σ.σ. δηλαδή το δήλιο πρόβλημα) και θεωρώντας αναγκαίο στοιχείο τη μηχανική λύση για πολλά προβλήματα, τα ανήγαγαν σε μηχανικές κατασκευές, παράγοντας από καμπύλες γραμμές και καμπύλα τμήματα μερικές μεσογράφους (με τις οποίες γράφονταν δύο μέσες ανάλογες). Επειδή δε ο Πλάτων αγανάκτησε και αντιτάχτηκε σε αυτούς με επιμονή λέγοντας, ότι καταστρέφουν και φονεύουν το αγαθό τής γεωμετρίας, όταν αυτή μεταφέρεται από τα ασώματα και τα νοητά στα αισθητά και χρησιμοποιεί ακόμη υλικά σώματα, τα οποία έχουν ανάγκη πολλής και φορτικής επεξεργασίας (βαναυσουργίας), γι΄ αυτό η Μηχανική θεωρήθηκε κατώτερη και διαχωρίστηκε από τη γεωμετρία και περιφρονούμενη για πολύ καιρό από τη φιλοσοφία κατέστη μία εκ των στρατιωτίδων τεχνών. (Βίοι παράλληλοι, Μάρκελλος XIV).

Σε αυτό το πνεύμα γράφει και ο Θέων ο Σμυρναίος (ακμή περί το 150 μ.Χ.), λίγο μεταγενέστερος τού Πλούταρχου, τα εξής:

Διότι ο Ερατοσθένης στην πραγματεία του τη φέρουσα τον τίτλο «Πλατωνικός» λέει, ότι όταν στούς δήλιους ο Απόλλων παράγγειλε με χρησμό για την απαλλαγή από την επιδημία νόσου, να διπλασιάσουν κάποιο βωμό, οι αρχιτέκτονές τους περιέπεσαν σε μεγάλη απορία, όταν ζητώντας πώς πρέπει υπάρχον στερεό να το κατασκευάσουν διπλάσιον, προσέφυγαν στον Πλάτωνα, για να το μάθουν. Αυτός δε τούς είπε, ότι ο θεός έδωσε το χρησμό αυτό στούς δηλίους όχι διότι είχε ανάγκη διπλάσιου βωμού, αλλά κακίζοντας και κατακρίντας τούς έλληνας, ως αμελούντες τα μαθηματικά και παραμελούντες τη διδασκαλία τής γεωμετρίας. (Έκδ. E. Hiller, Lipsiae, 1878, σελ. 2,3) .

Στο απωλεσθέν έργο του «Πλατωνικός» -ένα έργο μαθηματικό με φιλοσοφικό περιεχόμενο- για το οποίο γίνεται λόγος από μεταγενέστερους συγγραφείς, ο Ερατοσθένης (σ.σ. διαβάστε στην «Ελεύθερη Έρευνα»: Πώς από ένα πηγάδι στο Ασσουάν μέτρησε την περίμετρο τής Γής) διαμνημόνευε, καθώς συνάγεται, και το δήλιο πρόβλημα. Ο Ερατοσθένης είχε πετύχει λύση χειρουργική, με μηχανική δηλαδή συσκευή και συγκεκριμένα με ένα όργανο, που είχε επινοήσει, τον μεσόλαβο ή μεσογράφο, με τη βοήθεια τού οποίου μπορούσαν να γραφούν δυο μέσες ανάλογες ευθείες δυο άλλων δοθεισών ευθειών.

* * *

Ο σχολιαστής έργων τού Αρχιμήδη (σ.σ.: Διαβάστε στην «Ελεύθερη Έρευνα» για τον Αρχιμήδη: Από το “Οστομάχιον” - Tangram, στον ολοκληρωτικό λογισμό, "Οστομάχιον": Το αρχαιότερο γνωστό puzzle, δείτε το βίντεο: “Δος μοι πού στω και κινώ την Γην” και κατεβάστε δωρεάν το βιβλίο: Δεκαπέντε θεωρήματα τού Αρχιμήδη), Ευτόκιος (στ΄ αι.), στα σχόλια τού έργου τού Αρχιμήδη «Περί σφαίρας και κυλίνδρου» αναφέρει δώδεκα λύσεις τού δηλίου προβλήματος, μεταξύ των οποίων και τη λύση τού Ερατοσθένη προτάσσοντας επιστολή του προς τον βασιλιά Πτολεμαίο τον Γ΄, η οποία σε νεοελληνική απόδοση έχει ως εξής:

«Ο Ερατοσθένης προς τον βασιλέα Πτολεμαίο ευχόμενος υγεία.

»Λένε, ότι κάποιος από τούς αρχαίους τραγωδοποιούς εισήγαγε τον Μίνω στην σκηνή, ο οποίος είχε διατάξει να κατασκευαστεί τάφος για το γιο του Γλαύκο κι ότι, όταν πληροφορήθηκε, ότι αυτός ήταν κύβος ακμής εκατόν ποδών (σ.σ. αττικός πους = 0,326 - 0,328 μ., ολυμπιακός = 0,3206 μ.), είπε: Μικρή παράγγειλες τη χωρητικότητα τού βασιλικού τάφου. Ας γίνει διπλάσια, αφού διπλασιαστεί κάθε πλευρά, χωρίς όμως ο τάφος να χάσει το κομψό του σχήμα. Φαινόταν, ότι έσφαλλε. Διότι, όταν διπλασιάζονται οι πλευρές, η μεν παράπλευρη επιφάνεια γίνεται τετραπλάσια, ο δε όγκος οκταπλάσιος.

»Ζητείτο δε και απο τούς γεωμέτρες να βρουν με ποιό τρόπο διδόμενο στερεό θα διπλασιαζόταν χωρίς να χάνει το σχήμα του και καλείτο το πρόβλημα αυτό διπλασιασμός τού κύβου, διότι υποθέτοντας, ότι το σχήμα τού στέρεου ήταν κύβος ζητούσαν να τον διπλασιάσουν.

»Ενώ δε όλοι επί πολύ χρόνο βρίσκονταν σε αμηχανία για τη λύση, ο Ιπποκράτης ο Χίος επινόησε, ότι εάν βρεθούν δύο δοθεισών ευθειών, από τις οποίες η μία είναι διπλασία τής άλλης, δύο μέσες ανάλογες σε συνεχή αναλογία, τότε ο κύβος διπλασιάζεται. Αλλά με την επινόηση αυτή η πρώτη αμηχανία περιέπεσε σε άλλη, όχι λιγότερο δύσκολη.

»Λέγεται δε ακόμη, ότι μετά πάροδο χρόνου, χρησμός επέβαλε στους κατοίκους τής Δήλου να διπλασιάσουν έναν από τούς βωμούς τους (ο οποίος είχε σχήμα κύβου) κι ότι αυτοί βρέθηκαν στην ίδια αμηχανία κι έστειλαν και ζήτησαν από τούς γεωμέτρες τής Ακαδημίας τού Πλάτωνα να λύσουν το πρόβλημα.

»Ενώ δε αυτοί επιδόθηκαν φιλόπονα στην εύρεση τής λύσης, λέγεται, ότι την λύση την βρήκαν ο μεν Αρχύτας ο Ταραντίνος με τούς ημικυλίνδρους, ο δε Εύδοξος με τις καλούμενες καμπύλες γραμμές. Συνέβη δε, ώστε όλοι αυτοί να πετύχουν τη λύση θεωρητικά, χωρίς να κατορθώσουν να βρουν τρόπο πρακτικής κατασκευής, πλην τού Μεναίχμου, τού οποίου όμως, η πρακτική λύση ήταν δύσκολη.

»Εγώ, όμως, επινόησα ευκολόχρηστη συσκευή, με την οποία βρίσκουμε όχι μόνο δύο μέσες ανάλογες, αλλά όσες θέλουμε. Αφού δε τις βρούμε, θα μπορούμε το δοθέν στερεό, τού οποίου η παράπλευρη επιφάνεια αποτελείται απο παραλληλεπίπεδο, να το μετατρέπουμε σε κύβο ή όταν έχει άλλο σχήμα να το μετατρέπουμε σε διάφορο αυτού ή να το μεγεθύνουμε διατηρούντας την ομοιότητα. Θα είναι δε δυνατόν και τα μέτρα των ξηρών ή των υγρών, όπως π.χ το μετρητή (σ.σ. χωρητ. 36 λίτρων περίπου) ή τον μέδιμνο (σ.σ. χωρητ. 52,5 λ.) να μετασχηματίζουμε σε κύβο και με την ακμή του να υπολογίζουμε τη χωρητικότητα κάθε δοχείου.

»Θα είναι δε ακόμη χρήσιμη η επινόησή μου σε εκείνους, οι οποίοι θέλουν να αυξάνουν την ισχύ καταπαλτικών και λιθοβόλων μηχανών, θα πρέπει δηλαδή να αυξάνουν ανάλογα και τα πάχη και τις διατρήσεις και τούς δακτυλίους και τούς προσαρμοζόμενους ιμάντες, εάν θέλουν ν΄ αυξάνεται ανάλογα και η βολή, αυτά δε δεν γίνονται χωρίς την εύρεση των μέσων αναλόγων. Την απόδειξη δε και τον τρόπο τής κατασκευής σού γράφω παρακάτω».

Διαβάστε στην «Ελεύθερη Έρευνα» τη λύση τού δηλίου προβλήματος από τον Πλάτωνα με τη λεγόμενη κινητική γεωμετρία και τη χρησιμοποίηση κανόνα και διαβήτη, όπως την παραθέτει ο Ευάγγελος Σταμάτης.

Τριχοτόμηση γωνίας

Ο Πλάτων έχει αφιερώσει δυό διαλόγους του στον Ιππία τον Ηλείο. Αυτό σημαίνει, ότι ο Ιππίας ήταν από τα εξοχότερα πνεύματα τής εποχής του. Ήταν βαθύτατα κάτοχος πλείστων επιστημονικών γνώσεων και δεν ήταν δυνατόν να μένει αμέτοχος όλων των πνευματικών ροπών και αναζητήσεων τής εποχής εκείνης. Μεταξύ των αναζητήσεων αυτών κατελέγονταν και τα τρία μεγάλα μαθηματικά προβλήματα. Ο Ιππίας επινόησε μια θαυμάσια καμπύλη, με την οποία λύνονται η τριχοτόμηση τής γωνίας και ο τετραγωνισμός τού κύκλου (όχι όμως, με χρήση κανόνα και διαβήτη).

Η τετραγωνίζουσα τού Ιππία ή τού Δεινόστρατου είναι καμπύλη, την οποία ανακάλυψε ο Ιππίας περί το 430 π.Χ. περίπου και την χρησιμοποίησε για την τριχοτόμηση μιας γωνίας, μπορεί όμως να χρησιμοποιηθεί και για τη διαίρεση μιάς γωνίας σε οσαδήποτε ίσα μέρη. Καλείται δε και τετραγωνίστρια τού Δεινόστρατου, δεδομένου, ότι χρησιμοποι- ήθηκε και από αυτόν (το 350 π.Χ. περίπου) για τον τετραγωνισμό τού κύκλου.

Έστω ΟΑ η ακτίνα κύκλου με κέντρο το Ο, στρεφόμενη ισοταχώς περί το Ο, ενώ συγχρόνως ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα των y, κινείται ισοταχώς και παράλληλα προς αυτόν. Τη στιγμή, που η κινούμενη ακτίνα καταλαμβάνει τη θέση ΟΑ, η κινούμενη ευθεία διέρχεται από το Α, όταν δε η ακτίνα καταλαμβάνει τη θέση ΟΓ, το ευθύγραμμο τμήμα ταυτίζεται με αυτήν. Ο γεωμετρικός τόπος Ρ των σημείων τομής των δύο αυτών ευθειών αποτελεί την τετραγωνίζουσα τού Ιππία.

Τετραγωνισμός τού κύκλου

Οι σοφιστές Αντιφών ο Αθηναίος, Βρύσων ο Ηρακλειώτης και άλλοι, πέτυχαν τον τετραγωνισμό πολυγώνων εγγεγραμμένων σε κύκλο, αλλά ο τετραγωνισμός αυτού τούτου τού κύκλου παρέμεινε ανέφικτο όνειρο, με την πραγματοποίηση τού οποίου ασχολήθηκαν πολλοί μαθηματικοί.

Ο Αντιφών ενέγραψε στον κύκλο τετράγωνα, των οποίων ο αριθμός των πλευρών κάθε φορά διπλασιαζόταν. Έλεγε δε, ότι αν συνεχίσει την εγγραφή αυτή επ΄ άπειρο, θα έλθει στιγμή, κατά την οποία το εγγραφάμενο πολύγωνο θα συμπέσει με την περιφέρεια τού κύκλου. Ήταν προφανές όμως, ότι αυτή η άπειρη εγγραφή δεν ήταν δυνατόν να έχει συγκεκριμένο τέλος. Ο Βρύσων ενέγραφε και περιέγραφε στον κύκλο πολύγωνα και έλεγε, ότι αφού εγγράψει και περιγράψει αρκετά από αυτά και υπολογίσει το εμβαδόν τού τελευταίου εγγραφέντος και τού τελευταίου περιγραφέντος πολυγώνου, λάβει δε τον μέσο όρο των δύο αυτών εμβαδών, θα είναι σε θέση να τον μετατρέψει σε τετράγωνο. Οι προσπάθειες και των δύο αυτών σοφιστών δεν έφεραν μεν το ποθούμενο αποτέλεσμα, έδωσαν όμως αφορμή στην ανακάλυψη σπουδαίων γεωμετρικών θεωρημάτων.

Ο Αρχιμήδης έλυσε το πρόβλημα με τη φέρουσα το όνομά του ελικοειδή γραμμή, τη σπείρα τού Αρχιμήδη, αφού προηγούμενα απόδειξε, ότι το εμβαδόν κάθε κύκλου ισούται με το εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου, τού οποίου η μία κάθετη ισούται με την ακτίνα τού κύκλου, η δε άλλη κάθετη ισούται με την περιφέρεια αυτού. Η δυσκολία εν προκειμένω ήταν το πώς η περιφέρεια τού κύκλου θα γίνει ίση με ευθεία γραμμή. Αυτό το απέδειξε ο Αρχιμήδης, ότι πράγματι γίνεται, στο δέκατο όγδοο θεώρημα τής πραγματείας αυτού «Περί ελίκων».

* * *

Ότι το πρόβλημα τού τετραγωνισμού τού κύκλου συζητούνταν στην Αθήνα από τον αθηναϊκό λαό τού τέλους τού ε΄ αιώνα, συνάγεται και από τις «Όρνιθες» τού Αριστοφάνη, όπου ο Μέτων λέει: «Ορθώ μετρήσω κανόνι προστιθείς ίνα ο κύκλος γέννηταί σοι τετράγωνος.» (Θα μετρήσω με ορθογώνιο κανόνα και θα προσθέσω μικρά τμήματα για να τετραγωνίσω για χάρη σου τον κύκλο, 1004-1005)

Γιάννης Λάζαρης---------

Ηλεκτρολόγος-Μηχανολόγος Ε.Μ.Π

ΠΗΓΗ.